Heti juttutuokiomme aluksi akatemiaprofessori Matti Lassas haluaa repiä rahaa, mutta tyytyy tavalliseen sanomalehtipaperiin.
Syynä repimisintoon on hänen tämänhetkinen tutkimushankkeensa, missä tutkitaan matematiikan avulla paperia ja pystytään paljastamaan väärät setelit juuri paperin avulla.
"Tutkimme valkoista kohinaa, tai tarkemmin sanottuna satunnaiskentän parametrien estimointia datan avulla", selittää Lassas ja jatkaa selitystä näyttämällä konkreettisesti, mistä on kyse. Hän valaisee paperia edessään laserosoittimella, jolloin valopisteen ympärillä oleva paperi hohtaa sumumaisena pilvenä.
"Tämä sumuuntunut piste on paperin sormenjälki, koska kun jokainen kohinan pikseli muutetaan matemaattiseksi funktioksi ja ne mallinnetaan, on tuloksena jokaiselle paperilaadulle ominainen malli. Paperia voi tutkia myös kohtalaisen tarkasti yksinkertaisesti sitä repimällä, sillä se, miten paperi repeää, kertoo siitä, sen koostumuksesta ja tekotavasta paljon.”
Tämän osoittamiseen Lassas ottaa sanomalehden, ja repii sen sivun hitaasti kahtia.
"Sanomalehtipaperin syyt ovat vain yhteen suuntaan, eli se on hyvin suunnistunutta siksi, että paperi on mennyt paperikoneen läpi ja paperi on varsin erilaista paperikoneen suunnassa ja poikkisuunnassa."
Setelipaperi on hienompaa, eikä siinä ole sanomalehtipaperiin verrattavia syitä. Sen sijaan laservalon avulla valaistaessa siitäkin paljastuu sen oma rakenne. "Siinä näkyy pieniä laikkuja ja myös pienet syyt. Kun niitä analysoidaan matemaattisesti, voidaan päätellä, mistä paperi on peräisin. Paperi, mille setelit painetaan, on erilaista eri maissa ja jopa eri paperikoneissa."
Kyseessä on yksinkertainen ainetta tuhoamaton tutkimus, eli tässä tapauksessa paperia voidaan tutkia hyvinkin tarkasti ilman, että paperia täytyy rikkoa.
"Kiinnostavaa kyllä, muun muassa pörssikurssit noudattavat samanlaisia lakeja kuin paperin kuitujen vaihtelut vaaka- ja pystysuunnassa. Voimme laskea pörssikurssien volatiliteettia samaan tapaan kuin päätellä paperin alkuperää. Tämä matematiikan universaalisuus on kiehtovaa!"
Tieteiskirjallisuudesta salapoliisimatematiikan pariin
Lassas kertoo aloittaneensa matematiikan opintonsa puhtaan, teoreettisen matematiikan parissa, sillä häntä kiinnostivat ennen kaikkea lukujen ominaisuudet.
"Ajattelin, että mitä vähemmän tekemistä sovellusten kanssa, sitä parempi. Mutta kun törmäsin matematiikan erilaisiin sovelluksiin ja huomasin, että kaikkialla ympärilläni oli hyvin samankaltaista matematiikkaa, niin siirryin askel askeleelta lähemmäksi sovelluksia."
Aivan alussa oli kuitenkin tieteiskirjallisuus, mikä houkutti epäsuorasti Lassaksen matematiikan pariin. Koska scifi-kirjoissa oli paljon fysiikkaa, hän halusi opiskella sitä tarkemmin. Fysiikassa ei kuitenkaan päässyt eteenpäin ilman matematiikkaa, joten tuleva akatemiaprofessori meni kesämökkipaikkakuntansa kunnankirjastoon ja luki sen matematiikan osaston läpi.
"Päätin, että haluan opiskella tätä yliopistossa. Vaikka innostukseni heräsi fysiikan soveltavan matematiikan kautta, imaisi puhdas matematiikka minut siinä määrin mukaansa, että halusin opiskella juuri sitä."
Varsin pian painopiste alkoi kuitenkin siirtyä jälleen sovellusten pariin. Erityisesti Lassas on kiinnostunut niin sanotuista inversio-ongelmista, käänteisongelmista, jotka ovat takana lähes kaikissa hänen tutkimissaan ongelmissa.
"Käänteinen ongelma on sitten nimensä mukaisesti päinvastainen. Se tarkoittaa sitä, että meillä on lopputulos, ja koetamme ymmärtää, miten se on saatu aikaan."
Hyvä esimerkki on maapallon painovoimakenttä. Jos tuntisimme täsmälleen planeettamme rakenteen, olisi mahdollista laskea painovoimalakien avulla, kuinka voimakkaasti Maa vetää meitä puoleensa kussakin paikassa pinnalla. Vetovoimassa on pieniä paikallisia vaihteluita sen mukaan, millainen on maapallon rakenne alapuolella, pinnan alla – erot ovat hyvin pieniä, mutta selvästi mitattavissa.
"Emme kuitenkaan tiedä täsmälleen maapallon rakennetta, mutta voimme mitata ja kartoittaa hyvinkin tarkasti, mikä on vetovoima missäkin kohdassa maapallon pinnalla. Ja näiden havaintojen perustella voimme laskea, millainen maapallon rakenne tuottaisi meille havaitut arvot. Tähän liittyy viime aikoina tehty maanjäristysaaltojen kulkuaikojen analyysi. Tämän avulla voitu päätellä huiman tarkasti Maan ja erityisesti Maan pintakerroksen kolmiulotteinen rakenne."
Nykyaikainen lääketieteellinen kuvantaminen on pitkälti samanlaista. Tietokonetomografiassa otetaan ihmisestä eri puolilta röntgenkuvia ja niiden avulla lasketaan, millainen on ihmisen kolmiulotteinen sisärakenne.
"Olemme tehneet yhteistyötä muun muassa hammaslääkärien kanssa ja onnistuneet kehittämään laskentamalleja, joiden ansiosta suun ja suun alueen hermojen rakenteen yksityiskohdat näkyvät aiempaa paremmin. Näin kuvannus voidaan tehdä vähemmillä röntgenkuvilla ja siten potilaan saama säteilyannos pienenee olennaisesti."
Toinen konkreettinen esimerkki inversio-ongelmamatematiikasta arkikäytössä on ilmakehätutkimus. Eri menetelmin voidaan havaita esimerkiksi ilmassa olevan hiilidioksidin määrä ja jakautuma, ja matematiikan avulla pystytään paljastamaan hiilidioksidin lähteet ja nielut: missä hiilidioksidia syntyy ja missä sitä absorboituu pois.
Lisää esimerkkejä tutkimusaloista, joissa saadaan tietoa epäsuorasti tai havainnot ovat epätäydellisiä, on vaikka kuinka. Lassaksen tutkimusryhmä on muun muassa auttanut malminetsijöitä, vesivarojen kartoittajia ja kosmologeja työssään.
"Taustasäteilyn tutkimus on todella kiinnostavaa ja minulle se on vähän paluuta tieteiskirjallisuuden pariin. Voimme nimittäin saada taivaan taustasäteilyssä olevista pienistä vaihteluista tietoa siitä, millaisia rakenteita oli varhaisessa maailmankaikkeudessa. Vielä jokin aika sitten kosmologien mukaan syntymässä olleessa maailmankaikkeudessa olisi ollut valtavia kosmisia säikeitä, mutta niitä ei vain ole löytynyt. Matematiikan avulla voidaan siis laskea, mikä näkyy – ja mikä tärkeämpää, sitä mikä ei näy."
Nyt Lassas on siirtynyt taustasäteilystä gravitaatioaaltoihin. Ne ovat kuin kosmisen mittakaavan maanjäristysaaltoja ja niissä on paljon mahdollisuuksia inversio-ongelmien käyttöön.
Sattuma johdattaa
Lassas on mukana Suomen Akatemian huippuyksikkö-statuksen saaneessa inversio-ongelmien tutkimusryhmässä, jonka jäsenet ovat jakautuneet kuuteen yliopistoon ympäri Suomen. Ryhmässä on nykyisin noin 80 jäsentä.
“Tämä verkosto on rakentunut vähitellen”, Lassas kertoo. “Lähtökohtana ovat olleet eri tutkijoiden väliset ystävyyssuhteet, ja kun yksi on saanut professuurin jossain yliopistossa, niin siitä paikasta on tullut kumppani.”
Lassaksen mukaan ryhmän vahvuus on siinä, että mukana on tutkijoita erittäin laajalla rintamalla puhtaasta matematiikan tutkimuksesta sovellusten siirtämiseen start-up-yrityksiin. Yleensä teoreettisen tiedon siirtyminen sovelluksiin kestää vuosikymmeniä, mutta nyt tutkimus saadaan arkikäyttöön hyvin nopeasti.
“Hyvä esimerkki tästä on yhtiö, jonka jatko-opiskelijamme pistivät pystyyn. Se mittaa putkistoissa kulkevia nesteitä kehittämämme matemaattisen kuvantamisalgoritmin avulla. Kuvantamismenetelmien avulla voidaan havaita maakaasuputken sisälle muodostuvia kiteitä. Pahimmassa tapauksessa ne saattavat tukkia putken, jolloin tuloksena on paitsi katko maakaasun toimituksessa, niin myös kallis remontti. Nyt ongelmat voidaan havaita ennalta ja edullisesti putkea avaamatta ja putki voidaan huoltaa ajoissa.”
Kenties kuuluisin – ja myös huikein – tutkimusryhmän hanke on näkymättömyysviitan tekeminen. Tällä viivataan Harry Potterin taikaviittaan, jolla hän pystyy muuttumaan näkymättömäksi. Yllättäen sellainen ei ole enää pelkkää satua.
“Kyse oli aluksi ihan pelkistä pintojen geometrioista. Sen jälkeen asia vain johti toiseen ja lopulta huomasimme tutkivamme näkymättömyyttä.”
Lassas selittää, että kyseessä oli abstrakti ongelma, missä tutkittiin valonsäteen kulkua matemaattisen pinnan, esimerkiksi hyperboloidin reunalta toiselle. Tavoitteena oli ymmärtää, miten yhdeltä reunalta voitaisiin tehdä pintaa pitkin sähkömagneettisen aaltojen avulla mittauksia siitä, miltä toinen puoli näyttää. Tai kuten Lassas sanoo, “Halusimme tietää, onko pinnan topologiassa reikää.”
Lassas oli menossa esitelmöimään lääketieteellisestä kuvantamisesta Yhdysvalloissa pidettyyn konferenssiin, jolloin hän keksi selittää kuvantamismenetelmiään näkymättömyysesimerkin avulla. Siinä oli kaksi kappaletta, yksi tasa-aineinen ja toinen sellainen, jonka sisälle oli kätketty esine ja joka oli vuorattu teoreettisella pinnoituksella, joka hämäsi näkymistä.
“Teimme erilaisia laskelmia, mutta emme valitettavasti puhuneet tekemisistämme materiaalitutkijoiden kanssa. Emme olleet tulleet ajatelleeksikaan, että he olivat jo tutkineet metamateriaaleja, jolla asia voidaan toteuttaa käytännössä. Muutamien vuosien jälkeen huomasimme, että uusien materiaalien, niin kutsuttujen metamateriaalien, tutkijat eri puolilla maailmaa ehdottivat näkymättömyysviitan tekemistä valolle käyttämällä täsmälleen samoja kaavoja, joita olimme itse hahmotelleet!”
Metamateriaaleissa niiden geometria on tärkeämpää kuin niiden materiaali. On siis sama, onko ne tehty puusta tai pellistä, raudasta tai hiilikuidusta, kunhan vain materiaali käyttäytyy eksoottisesti. Materiaalit voivat olla mekaanisia tai sähköisiä, ja ne voivat saada aikaan valolla (ja muulla sähkömagneettisella säteilyllä) varsin omituisia ilmiöitä: esimerkiksi valo voi taittua ihan toiseen suuntaan kuin odotettaisiin. Veden ja ilman rajapinnassa valo heijastuu ja taittuu, mutta metamateriaalia ja jotain tiettyä valon aallonpituutta käyttämällä voi saada aikaan sen, että valo seuraa kappaleen pintaa samaan tapaan, kuin vesi virtaa joessa olevan kiven ympäri. Valo siis palaa kappaleen ohitettuaan alkuperäiselle reitilleen.
“Jos tämän saisi toimimaan suuressa mittakaavassa ja laajalla taajuuskaistalla, niin se toimisi kuin Harry Potterin näkymättömyysviitta. Toistaiseksi on tosin onnistuttu kätkemään vain noin mikrometrin kokoisia kappaleita, eli viitat ovat vielä aika pieniä ja toimivat vain yhdellä aallonpituudella.”
Ensimmäisenä näkymättömyyttä voitaisiin käyttää esimerkiksi skannausmikroskoopeissa, joissa mikroskoopin äärimmäisen pientä kärkeä kannattavat tuet voitaisiin päällystää käytetyn aallonpituuden alueella “näkymättömäksi” muuttavalla aineella. Samoin tutka-antenneissa, jotka nekin toimivat vain tarkasti määrätyillä aallonpituuksilla, voitaisiin antennin kuvakentässä olevat tuet muuttaa näkymättömiksi. Kummassakin tapauksessa havainnot parantuisivat olennaisesti.
Sovellusten lista vain jatkuu…
Haastattelun kuluessa Lassas pudottelee tutkimuksensa sovelluksia niin innokkaasti, että niitä on vaikea kirjata ylös.
Lassas kertoo niistä innostuneesti, ja toteaakin sen, mikä näkyy päälle: “Tämä on hirveän jännittävää! Yksi asia johtaa toiseen ja tämä saattaa näyttää etenkin näin jälkikäteen katsottuna vain ajautumiselta. Etukäteen ei voi tietää, missä kaikessa kehittämäämme matematiikkaa voi käyttää.”
“Olennaista on se, että meidän pitää olla yhteistyössä muiden alojen tutkijoiden kanssa. Emme saa istua vain kammioissamme, vaan meidän matemaatikkojen pitää mennä tapaamaan muita ihmisiä, kuunnella heitä ja soveltaa tutkimustamme heidän tarpeisiinsa.”
Näkymättömyys on tästä hyvä esimerkki. Lisäksi se on erinomainen esimerkki siitä, miten näennäisesti täysin hyödytön tutkimus tuottaa mullistavia sovelluksia.
Kun Lassas katsoo kymmenen vuoden päähän, niin hän näkee siellä kaikkein kiinnostavimpana uutena alana niin sanotun hybridikuvantamisen. Siinä yhdistetään kaksi erilaista kuvantamistapaa, esimerkiksi sähköinen kuvantaminen ja magneettikuvaus, jolloin saadaan enemmän ja parempaa tietoa.
“Ja sitten on fotoakustinen kuvantaminen! Ihmisen sisälle voidaan lähettää voimakas valopulssi, joka lämmittää hieman ihmisen kehoa, ja tämä pieni, nopea lämpeneminen laajentaa ainetta ja laajentuminen synnyttää ääntä. Koska valo ei mene kovin syvälle ihmiseen, käytetään tätä nyt lähellä ihoa olevassa tutkimuksessa, muun muassa ihosyövän kuvantamisessa.”
“Kun valo korvataan ultraäänellä, saadaan elastografinen kuvantamismenetelmä. Ihmisten sisustaa on vaikea puristaa kasaan siten, että tilavuutemme muuttuu, mutta olemme vastavuoroisesti hyvin vääntyviä ja joustavia. Tämän takia kudoksissamme etenee kaksi eri nopeudella kulkevaa elastista aaltoa, joita voidaan yhdessä käyttää kuvantamisessa: toinen aalto) suunnataan sisällemme kiinnostavaan paikkaan ja ne synnyttävät toisenlaisia aaltoja, joita havaitaan.”
Aaltojen käyttäytymistä voidaan laskea suhteellisuusteorian kaavoilla, joilla esimerkiksi hahmotetaan sähkömagneettisten aaltojen ja gravitaatioaaltojen vuorovaikutusta.
Ei ole mikään ihme, että Lassaksen mielessä asia on myös saanut toisen, aivan erilaiselta tuntuvan, mutta matemaattisesti samankaltainen ajatuksen. Hän miettii, miten havaitsija, joka putoaa avaruudessa vapaasti ja joka lähettää aaltoja ympäriinsä, voi muodostaa kuvan ympärillään olevasta avaruusajasta ja sen rakenteista – vai pystytäänkö siihen lainkaan?
“Artikkelimme tästä on tällä hetkellä viimeisteltävänä ja sen vastaus on, että pystyy. Tämä on sellainen nimenomaan matematiikkaan perustuva kysymys, joka oli henkilökohtaisesti kauhean tärkeä. Ja kuten niin monasti ennenkin, tälle siis löytyi heti käytännön sovelluksia!”
Juttu ja video on julkaistu Suomen akatemian nettisivuilla ja ne uudelleenjulkaistaan Tiedetuubissa luvalla. Tekijänä on Tiedetuubin Jari Mäkinen.
