Matemaatikkokin sen tietää: pilvet eivät ole palloja

Matemaatikkokin sen tietää: pilvet eivät ole palloja

Akatemiaprofessori Antti Kupiainen tutkii työkseen muun muassa turbulenssia, eli nesteiden ja kaasujen kaoottista, monimutkaista liikettä. Sitä tapahtuu joka puolella ympärillämme, eikä sitä pystytä laskemaan täydellisesti edes suurimmilla supertietokoneilla. Nämä mutkikkaat ilmiöt saadaan kuitenkin varsin hyvin hallintaan, kun niiden taustalla oleva matematiikka ymmärretään. 

30.06.2016

Vaikka Kupiainen on hyppinyt urallaan fysiikan ja matematiikan välillä, on hänen lähestymistapansa ollut aina matemaattinen.

"En ole kuitenkaan ollut koskaan kiinnostunut matematiikasta sinällään, vaan siitä miten se liittyy todelliseen maailmaan", kertoo Kupiainen keskiviikkona Suomen Akatemian nettisivuilla julkaistussa haastattelussa

Hänen nyt johtamansa Analyysin ja dynamiikan huippuyksikkö keskittyykin juuri samaan asiaan. Ryhmässä tehdään matematiikan perustutkimusta, jolla on kuitenkin usein hyvinkin suorat ja konkreettiset yhteydet arkipäivän sovelluksiin.

"On vaikea kuvitella mitään sellaista, mihin ei liity matematiikkaa. Kaikkiin laitteisiin liittyy matematiikkaa ja käytännössä kaikkien laitteiden ja tuotteiden tekemiseen tarvitaan fysikaalisia ja kemiallisia prosesseja, joiden ymmärtämiseen vaaditaan matematiikkaa."

Lisää Kupiaisen kommentteja matematiikan niin sanotusta vaikeudesta, sen kauneudesta, fraktaaleista ja jätevesien kulkeutumisesta sekä ilmastointiputkista on yllä olevalla videolla ja Akatemian nettisivujen haastattelussa.

Maan ydin on yllättäen kuorta nuorempi

Tanskalainen tutkijaryhmä päätti ottaa mittaa urbaanista suhteellisuusteoreettisesta legendasta. Osoittautui, että kerrankin uskomus vähätteli todellista ilmiötä. Aikaero pinnan ja ytimen välillä on luultua suurempi.

Planeetan osaset, aina alkuaineista lähtien, ovat eri-ikäisiä. Molekyylejä ja mineraaleja hajoaa jo muodostuu koko ajan. Maan ydinkin on rakentunut yllättävän vastikään, kuten taannoin kirjoitimme. Mutta nuo kaikki ovat vain sivuseikkoja.

Tässä jutussa on kysymys jostain rakennuspalikkojakin perustavammasta: Painovoimasta ja aika-avaruuden vääristymistä.

Kuuluisan fyysikon, Richard Feynmanin, kerrotaan sanoneen luennollaan joskus 1960-luvulla jotakuinkin seuraavaa: "Gravitaatiopotentiaalin vuoksi Maan ytimen pitäisi olla päivän tai pari pintaa nuorempi".

Feynman tarkoitti sitä, että yleisen suhteellisuusteorian mukaan kellot käyvät sitä hitaammin, mitä suuremmassa gravitaatiokuopassa (eli painovoimapotentiaalissa) ne kulloinkin ovat. Tai siis näyttävät käyvän hitaammin muualta tiirailevan havaitsijan silmin. Omasta mielestään kukin kello käy toimii aivan normaalisti.

Maan ytimessä ollaan keskellä planeetan aiheuttamaa painovoimakuoppaa. Me pinnalla elelijät taas kekkaloimme kuopan rinteellä, mutta planeetta estää meitä tippumasta syvemmälle kuoppaan.

Päivän tai pari. Yksi tai kaksi päivää.

Suunnan voi todeta oikeaksi, jos tuntee jonkin verran suhteellisuusteoriaa. Lukuarvon suuruutta ei kuitenkaan tiettävästi ole aiemmin tarkistettu (tai ainakaan tarkistuslaskuja ei ole julkistettu). Lainausta on käytetty populaaritieteessä, luennoissa ja muuallakin. Luultavasti näin on käynyt Feynmanin tutkijan maineen vuoksi – anekdoottia käyttäneet ovat luottaneet siihen, että kuuluisuus teki laskunsa oikein.

Mutta kun ei tehnyt, ja väite menee päin prinkkalaa. Tämän huomaisi, jos asian tarkistaisi. Tämän todistamiseen liittyvistä laskuista selviäisi lukiofysiikalla tai viimeistään yliopiston fuksikurssien jälkeen.

Kyse on vuosista, ei päivistä.

Yllä Auringon ja Maan aiheuttamat aika-avaruuden vääristymät visualisoituna kaksiulotteisella verkolla.

 

Nyt tanskalaistutkijat laskivat, miten paljon gravitaatio todella hidastaa aikaa aivan lähiympäristössämme.

Maapallon pinnalla ja ytimellä on 2,5 vuoden ikäero. Se on kertynyt planeetan 4,5 miljardin vuoden eliniän aikana. Auringolla ero on isomman massan ja ytimen tiheyden aiheuttamasta kuopasta johtuen suurempi, peräti 39 000 vuotta.

Pinnalla oleva kello käy koko ajan nopeampaa kuin ytimeen upotettu kello. Erot kasvavat koko ajan.

Eron voisi määrittää mille tahansa kappaleelle, jonka massan jakautuminen ja läpimitta voidaan arvioida riittävän tarkasti.

Asia voidaan viedä ajatustasolla äärimmäisyyksiin. Keskelle mahdollisimman tyhjää avaruuden aluetta jätetty kello kävisi siis jokseenkin niin nopeasti kuin se tässä universumissa tiettävästi voisi. Todellisilla syrjäseudulla, kuten vaikkapa kaukana jättimäisistä galaksijoukoista, pimeästä aineesta ja jopa satunnaisista tähdistä, keskellä ei mitään, gravitaatiopotentiaali olisi minimissään. Toisessa ääripäässä olisivat ylitiheät neutronitähdet: Sellaisen ytimeen sijoitettu kello näyttäisi ulkopuoliselle tikittävän tuskallisen hitaasti. (Ajatusta jatkaen mustan aukon keskellä olevassa singulariteetissa aika jopa pysähtyisi – mutta jätetään sellaiset sikseen, muutoin mennään nykyfysiikan tuntemuksen ulkopuolelle.)

Asian todenperäisyydestä ei oikeastaan ole kiistaa. Yleiselle suhteellisuusteorialle ei vielä ole löytynyt haastajaa, joka selittäisi maailman toimintaa yhtä hyvin ja lisäksi vielä selittäisi aiemmassa teoriassa esiintyvät puutteetkin.

Periaatteessa lasketun ikäeron voisi kuitenkin tarkistaa analysoimalla radioaktiivisten aineiden ja niiden hajoamistuotteiden suhteita eri syvyyksillä. Mitä syvemmällä gravitaatiokuopassa aine on, eli mitä hitaammin kellon aika on kulkenut, sitä pienempi osa emoaineesta on ehtinyt hajota. Ytimessä pitäisi siis olla radioaktiivista ainetta hieman suurempi prosenttiosuus jäljellä, sillä radioaktiivinen puoliintumisaika on vakio ajan suhteen. Ikäero on kuitenkin hyvin marginaalinen atomien elinikään nähden, ja puoliintumisaikakin on tilastollinen suure, joten tulokset hukkuisivat auttamatta taustakohinaan. Ja onhan näytteen saaminen planeetan ytimestäkin myös himpun verran vaikeaa.

Feynmanin sanomiset olivatkin palturia

Tanskalaistutkijat julkaisivat laskunsa, jotta muut tieteentekijät, opettajat ja oppilaat muistaisivat, kuinka helppoa auktoriteettiin on luottaa turhaan ja kuinka helposti myös kuuluisuudet tekevät virheitä. Tutkijat yrittävät nostaa kollegojensa terveen skeptisyyden ja tieteellisen selkärangan esiin. Mitään väitettä ei kannata sokeasti uskoa, jos sen voi itse tarkistaa. Auktoriteettiusko ei kuulu tieteen ihanteisiin. Päinvastoin.

Varmaa tosin ei ole, oliko virhe todella Feynmanin vai kenties luennon puhtaaksikirjoittajan tekemä. Tätä ei enää voida tarkistaa. Yhtä kaikki, Feynmanin suuhun on pistetty päiviä vuosien sijasta, ja siellä ne pysyvät.

Feynman itse tokaisi huomattuaan jonkun muun kuuluisuuden tekemät virheet: "Siitä lähtien en ole juuri 'asiantuntijoista' piitannut vaan laskenut kaiken itse."

Tutkijoiden laskuharjoitusmainen artikkeli ilmestyi juuri European Journal of Physics -lehdessä, jonka tarkoituksena on parantaa fysiikan tuntemusta ja käyttötottumuksia korkeakoulutuksessa. Asiasta kirjoittivat aiemmin NewScientist ja ScienceAlert.

Mitä kuvassa näkyy? Matematiikka kertoo ja sinä nautit tuloksista.

Moncef Gabbouj (keskellä) perjantai-iltana paikalla olleita tutkimusryhmän jäseniä.

Astun ulos hissistä Tampereen teknillisessä yliopistossa ja edessäni on tyypillinen tutkimuslaitoksen käytävä: se on pitkä ja sen kummallakin puolella on ovia, joiden vieressä on nimikylttejä sekä erilaisia papereita seinälle kiinnitettyinä. On ilmoitustaulu, ikkuna käytävän päässä, porraskuilu vieressä sekä muutamia ihmisiä.

Pystyn hahmottamaan nopeasti ympärilläni olevat kohteet ja erottamaan niistä aiemmin näkemäni kuvan perusteella akatemiaprofessori Moncef Gabbouj’n, mutta kameran kautta maailmaa kuvaava tietokone olisi hyvin hämillään. Konenäöllä olisi vaikeuksia erottaa toimistojen ovia muista neliskanttisista kohteista ja ihmisiä toisistaan – saati  yhdistää näkemänsä kuva muistissaan olevaan kuvaan tietystä henkilöstä.

Tämän vuoden lopussa akatemiaprofessorikautensa päättävä Gabbouj on erikoistunut epälineaarisiin digitaalisiin suotimiin, erityisesti haluttujen kohteiden löytämiseen videokuvasta sekä älykkäisiin hakupalveluihin.

Jo nyt kameroissa käytetään kasvontunnistusta ja hakukoneet voivat etsiä tietynlaisia kuvia, mutta Gabbouj haluaa tehdä tästä tarkempaa, nopeampaa ja arkisempaa, minkä lisäksi hän laajentaa hahmontunnistusta kaikkialle tiedonlouhintaan. Siihen tarvitaan matematiikkaa, joka yleistäen on sitä monimutkaisempaa, mitä helpommalta työn halutaan vaikuttavan.

Parvella tiedon kimppuun

“Kyse on yksinkertaisesti signaalinkäsittelystä ja algoritmeista, joilla tätä käsittelyä tehdään”, aloittaa Gabbouj työnsä selittämisen.

“Kehitimme aluksi tällä alalla erilaisia tekniikoita hahmontunnistukseen ja koneoppimiseen, joita olemme soveltaneet nyttemmin laajoihin tietomääriin ja niin sanottuun big dataan.”

Tällaisia tietokantoja ovat yhtäältä esimerkiksi kuva-arkistot kuten netissä olevat kuvat, toisaalta vaikkapa lääketieteelliset kuvat tai tutkahavainnot. Usein näissä on yksittäisiä tietoja, kuvia ja havaintoja niin paljon, että niiden valikoiminen yksittäin tietyn hakukriteerin mukaan ei ole käytännössä mahdollista. Äreimmätkään tietokoneet eivät onnistu siinä.

Siksi tietojen hakua voi auttaa älykkäillä algoritmeilla, jotka seulovat tietoja ja muodostavat löytämistään tiedoista kolmiulotteisen mallin, mistä matemaattisesti voidaan löytää kaikkein osuvimmat vaihtoehdot.

Siinä missä aiemmin hakua tehtiin avainsanojen avulla, pystyy tamperelaisten niin sanottu parvioptimointialgoritmi hahmottamaan tietoa ja löytämään siitä erilaisia määreitä. Näin esimerkiksi kuvahakua Pisan kaltevasta tornista tehtäessä tuloksena ei ole kaikenlaista kaltevaa, vaan vaikuttava määrä erilaisia kuvia juuri Pisan tornista.

Samaa menetelmää voi käyttää esimerkiksi syöpäkasvaimien tai pinnanmuotojen tunnistamiseen. Tuoreimmassa tutkimusohjelmassa menetelmää käytetään taloustietojen tunnistamiseen ja louhimiseen.

“Siinä missä aiemmin puhuimme vain kuvista, on nyt kaikki tieto kiinnostavaa. Pystymme käsittelemään raakadataa, kuvia, videota ja ääntä, joista oppiva algoritmimme pystyy etsimään haluttuja asioita. Lopulta voimme jopa ennustaa tietojen perusteella tulevaisuuteen.”

Tällainen ennustava systeemi on esimerkiksi sydänkäyrää tutkiva algoritmi, joka kykenee havaitsemaan sydänkohtauksesta varoittavat merkit jo ennalta, jolloin esimerkiksi älykelloon asennettuna se voi antaa hälytyksen ja pyytää kantajaansa lepäämään. Näin kohtaus ei tulekaan tai apu voi olla matkalla jo itse kohtauksen alkaessa.

Gabbouj’n tutkimusryhmä on kehittänyt myös oppivia algoritmeja, jotka esimerkiksi sydänkäyrän tapauksessa pystyvät sopeutumaan käyttäjän omaan sydämen lyöntityyliin – jokaisella se on omanlaisensa.

Lisää sovelluksia tällaisilla älykkäillä signaalikäsittelyä, hahmontunnistusta ja koneoppimista käyttävillä systeemeillä on vaikka kuinka:  autonomisesti liikkuvien autojen ohjauslaitteiden kameroiden reaaliajassa ottamista kuvista pitää löytää nopeasti ja luotettavasti näkökentässä olevat kohteet ja valokuvia nettiin lataavia auttaisi huomattavasti älykäs ohjelmisto, joka löytäisi automaattisesti kuvassa olevat avainsanat.

Puolustus- ja turvallisuusviranomaiset ovat luonnollisesti myös hyvin kiinnostuneita järjestelmistä, jotka pystyvät seulomaan tehokkaasti suuria tietomääriä ja löytämään niistä haluttuja asioita.

Ei ihme, että tutkimusta tällä alalla tehdään nykyisin muuallakin kuin vain Tampereella.

Apua hiukkasfysiikasta

Gabbouj kertoo, että aluksi hänen ryhmänsä lähinnä sovelsi muiden tekemiä algoritmeja ja kehitti niitä eteenpäin, kunnes ryhmä halusi ottaa hyppäyksen eteenpäin ja tehdä jotain aivan uutta.

Niinpä ryhmäläiset alkoivat katsoa rohkeasti muilla aloilla olevia matemaattisia sovelluksia. Erityisen kiinnostavaksi paljastui hiukkasfysiikka, ja etenkin Schrödingerin yhtälö. Se on kvanttimekaniikassa käytetty aaltoyhtälö, joka kuvaa hiukkasta ja sen olotilaa niin sanotun aaltofunktion avulla. Samaa menetelmää voi käyttää yksittäisten tietojen ja sen ominaisuuksien kuvaamiseen. Myös silloin, kun ei tiedetä ihan täsmälleen mitä ollaan etsimässä.

Myös fysiikassa käytetty menetelmä ison ongelman ratkaisemisesta osissa oli toimiva: tuloksena oli skaalattava algoritmi, joka luokittelee tietoa semanttisiin luokkiin.

Tamperelaisten keinoin onnistuttiin ratkaisemaan myös eräs neuroverkkojen – hermosolujen toimintatapaan perustuvien keinoälysysteemien – kompastuskivi: kahden spiraalin ongelma. Siinä on sisäkkäin kaksi pisteinä piirrettyä spiraalia, ja hahmontunnistuksen pitäisi erottaa ne toisistaan. Tehtävä ei ole helppo.

Sisäkkäisten spiraalien kanssa painiminen on tyypillinen tapaus ongelmasta, joka äkkiseltään kuulostaa kaiken maailman dosenttien harrastamalta teoreettiselta pohdiskelulta, mutta jolla onkin hyvin konkreettisia ja merkittäviä sovelluksia.

“Sovelluksia ei ole ilman perustutkimusta”, toteaakin Gabbouj ja jatkaa: “Perustutkimus on kuin uutta verta, mitä ilman emme voi tulla toimeen. Voimme kehittää sovelluksia ja parantaa menetelmiämme jonkin aikaa aiemman tiedon perusteella, mutta todella uusien asioiden löytäminen ja harppausten ottaminen eteenpäin tarvitsevat perustutkimusta. Sen merkitystä ei voi aliarvioida.”

Moncef Gabbouj (keskellä) perjantai-iltana paikalla olleita tutkimusryhmän jäseniä.

Kuva: Moncef Gabbouj (keskellä) perjantai-iltana paikalla olleita tutkimusryhmän jäseniä.

 

Haasteita pitää olla!

Kun juttelemme Gabbouj’n kanssa, paiskoo ikkunan takana räntää marraskuiselta taivaalta. On jo pimennyt perjantaisen iltapäivän loppu.

Siitä huolimatta Signaalinkäsittelyn laitoksen huoneissa on vielä väkeä. Kun muualta tutkijat ja opiskelijat vetäytyvät viikonlopun viettoon, on Gabbouj’n ryhmästä vielä moni paikalla. Syynä ei ole suinkaan se, että professori olisi orjapiiskuri, vaan se, että ratkottavana on niin kiinnostavia ongelmia.

“Tämä ryhmä on eräs yliopiston kansainvälisimmistä, sillä meillä on 14:stä eri kansallisuudesta”, selittää itse Yhdysvalloista Tampereelle jo 25 vuotta sitten tullut Gabbouj.

“Professorina tuolloin ollut Yrjö Neuvo halusi kansainvälistää yliopistoa, ja palkkasi minut tänne perustamaan ohjelmaa ulkomaisia opiskelijoita varten. Sen jälkeen aloitimme koulutuksen englanniksi ensin peruskursseilla ja nykyisin kaikki opinnot voi suorittaa englanniksi.”

Nyt ryhmässä olevat eivät kuitenkaan ole tulleet Hervantaan vain englanninkielisen opetuksen vuoksi, vaan siksi, että signaalinkäsittelyssä se on eräs huipuista maailmassa.

“Tutkijat tulevat tänne etsimään haasteita ja tekemään tiedettä, ja annammekin heille mahdollisuuden rakentaa aivan uudenlaista tekniikkaa. He ovat motivoituneita ja tekevät kaikki työtä yhdessä erilaisista taustoista ja kulttuureista huolimatta.”

“Mutta aina välillä kyllä täytyy mennä ulos”, toteaa akatemiaprofessori ja katsoo kohti ikkunaa ja tämän talvikauden ensimmäistä räntää.

Kenties yksi syy työintoon on myös se, että sisällä labrassa on mukavaa, valoisaa ja lämmintä.

Juttu on julkaistu myös Suomen akatemian nettisivuilla.

Katsomisen keinot, näkemisen tavat Helena Sederholm To, 20/08/2015 - 10:23

Tänä vuonna on julkaistu kaksi kiinnostavaa kirjaa, jotka linkittävät toisiinsa taiteen ja tieteen. Molempien sanoman ydin on, etteivät asiat ole sitä miltä ne näyttävät, eikä näkeminen ole mikään yksinkertainen asia vaan taito, joka täytyy opetella. Ja se pitää opetella aina uudestaan, sillä eri aikoina erilaiset kulttuuriset, poliittiset, aatteelliset ja teknologiset tekijät vaikuttavat paitsi siihen, mitä katsotaan, myös siihen miten nähdään ja miten nähtyä kuvataan. 

Johanna Vakkarin toimittama Perspektiivi kuvataiteen historiassa (Gaudeamus 2015) tarkastelee erilaisia tapoja luoda tilaa ja käsitellä aikaa taiteessa. Kun taiteessa puhutaan perspektiivistä, monen mieleen tulee ensimmäisenä renessanssin keskeisperspektiivi, joka on matemaattinen konstruktio. Kun katsoo yhdellä silmällä, asiat katoavat samassa linjassa yhteen pakopisteeseen. Ongelma vain on, että kun siirtyy piirunkaan verran siitä yhdestä näkökulmasta – tai avaa molemmat silmät – koko kuva muuttuu. 

Perspektiiviproblematiikkaa pohdittiin paljon jo antiikissa ja keskiajalla optiikan tutkimus tuotti tuloksia, joilla oli suuri merkitys äärettömyyden ja avaruuden käsitteiden ja siinä mielessä myös keskeisperspektiivin kehittymiselle. Roger Bacon kirjoitti 1200-luvulla joukon tutkimuksia, jotka hän lähetti paaaville yhdessä optisen linssin kanssa. 

Yhdessä kirjoituksessa Bacon vaati, että taiteilijat tulisi perehdyttää geometriaan, jotta heidän uskonnolliset maalauksensa olisivat paremmin jäsennettyjä. Baconille matematiikka oli keino hankkia tietoa maailmasta ja taiteilijoiden piti hänen mielestään kuvata luomakuntaa mahdollisimman selkeästi.

Edes renessanssin aikana 1400-luvulla taiteilijat eivät kuitenkaan käyttäneet keskeisperspektiiviä maalauksissaan johdonmukaisesti. Kun he pyrkivät luonnonmukaisen havaintotodellisuuden toistamiseen, he poikkesivat keskeisperspektiivistä kokonaisvaltaisen katsojakokemuksen hyväksi. Matematiikan tärkeyttä näkökokemuksen ymmärtämisessä saatettiin korostaa, mutta käytännössä taiteilijat tukeutuivat aistihavaintoon ja erilaisiin tapoihin kuvata tilaa.

Niin kutsuttu renessanssiperspektiivi onkin ollut vain yksi kuvataiteen tapa luoda tilaa ja kertoa tarinoita. Vakkarin toimittamassa kirjassa kuvataan myös monipuolisesti empiiristä perspektiiviä, käänteisperspektiiviä, arvoperspektiiviä, väriperspektiiviä, ilmaperspektiiviä, epäeuklidiseen matematiikkaan perustuvia perspektiivinäkemyksiä, kaarevaa perspektiiviä, simultaanisuutta ja taiteilijoiden näkemyksiä neljännestä ulottuvuudesta.

Näkeminen on fysiologisen ja psykologisen yhteistoimintaa. Kiinnitämme huomion johonkin, mutta kyse on myös kommunikatiivisuudesta: haemme näkemästämme kokonaisuuksia, pyrimme selkeyteen ja tartumme tuttuun. Jo filosofi John Locken mukaan havainto on yhtä lailla tottumuksen tuottamaa kuin kerätyn tiedon soveltamista. Sittemmin on oivallettu, että myös käyttämämme havaintoväline, olipa se kaukoputki tai mikroskooppi, vaikuttaa katsomiskokemukseen. 

Siksi perspektiivi-kirjan luettuaan onkin hyvä tarttua Laura J. Snyderin kirjaan Eye of the Beholder. Johannes Vermeer, Antoni van Leeuwenhoek, and the Reinvention of Seeing (Head of Zeus 2015), joka käsittelee muun muassa sitä, kun nähdään jotakin uutta, eikä katsoja tiedä mitä näkee. 

Äkkiseltään voisi ajatella, että camera obscuran, linssien ja peilien tuottama perspektiivikuva, Johannes Vermeerin taiteellinen toiminta ja Antoni van Leeuwenhoekin mikroskooppikokeilut eivät liity toisiinsa juuri muuten kuin, että Leeuwenhoek ja Vermeer asuivat samaan aikaan 1600-luvun puolimaissa samassa kaupungissa, torin vastakkaisilla puolilla. Snyderin mukaan on todennäköistä, että he tunsivat toisensa, vaikka siitä ei suoria historiallisia todisteita olekaan. Miehiä yhdisti kuitenkin kiinnostus linsseihin. 

1600-luvun taiteilijat käyttivät paljon optisia välineitä: linssejä ja peilejä. Niiden avulla he tekivät perspektiivisiä ja optisia kokeiluja. Perspektiivin saattoi luoda kuvaan ilman työlästä matematiikkaa. Esimerkiksi koveran linssin avulla taiteilija saattoi tutkia korostuneita värejä ja yksityiskohtia sekä esineiden ulottuvuutta suhteessa ympäristöön. 

Monet taiteilijat käyttivät koveria linssejä myös laajentaakseen kaupunkinäkymien kuva-alaa. Esimerkiksi Carel Fabritius käytti todennäköisesti kaksoiskoveraa linssiä maalatessaan Näkymää Delftissä 1652, mikä selittäisi perspektiivin vääristymät kuvan laidoilla.

Vermeer käytti joko kuperaa peiliä tai kaksoiskoveraa linssiä maalatessaan Nukkuvaa palvelijatarta (n. 1656–57) ja eräitä muita teoksia 1650-luvulla. Mutta kuten keskeisperspektiiviä käyttäneet renessanssitaiteilijat, ei Vermeerkään toistanut orjallisesti optisten välineitten läpi näkemäänsä, vaan teki maalauksiin muutoksia, jos ne paransivat esteettistä vaikutelmaa. Vermeerin sommitelmat ovat myös hyvin geometrisia ja on arveltu, että hänen mestarillista ja intensiivistä värien ja sävyjen käyttöään avitti myös camera obscura.

Samoihin aikoihin kun Vermeer maalasi koverien linssien kanssa, hänen naapurinsa, kangaskauppias van Leeuwenhoek kiinnostui myös linsseistä, joita hän valmisti itse. Hän teki pienen herneen kokoisia pisaralinssejä ja valmisti joidenkin laskelmien mukaan elämänsä aikana kaikkiaan 566 mikroskooppia, joista vain yhdeksän on säilynyt. 

Jos erilaisten perspektiivien avulla taiteessa voitiin kuvata asioiden välisiä suhteita ja luoda erilaisia tiloja, niin 1600-luvulla kehitetyt teleskooppi ja mikroskooppi mullistivat asioiden mittakaavan. Taivaalla oli enemmän tähtiä kuin oltiin laskettu ja mikroskooppi paljasti aiemmin kokonaan näkymättömissä olevia maailmoita.

Snyderin kirjaa lukiessa on kiehtovaa yrittää ymmärtää, miltä Lontoossa Royal Societyn herroista tuntui, kun he yrittivät käsittää, miten van Leeuwenhoek näki tuhansia ja taas tuhansia pieniä otuksia yhdessä vesipisarassa. Tarvittiin mielikuvitusta, jotta opittiin tajuamaan mitä oikeastaan nähtiin ja mitä ei. 

Vielä pitkään monet tutkijat tuijottivat mikroskooppiin yrittäen löytää jotakin, mitä he tiesivät olevan, kuten Nicolaas Hartsoeker, joka "löysi" 1690-luvulla siittiön sisältä valmiin pikkuihmisen, homunculuksen; sitä myös Leeuwenhoek etsi, muttei koskaan väittänyt löytäneensä.

Leeuwenhoekia kiinnosti myös näkemisen fysiologia: hän tutki toistuvasti mikroskoopeillaan yhtä lailla mehiläisen kuin lehmänkin silmiä: näköhermostoa, iiristä, sarveiskalvoa ja verkkokalvoa.

Vermeerin ja Leeuwenhoekin tekemisten yhdistäminen samoin kuin tieteenhistorialliset viittaukset Perspektiivi-kirjassa konkretisoivat sekä tieteen että taiteen tutkimuksellista luonnetta. Molemmilla alueilla mielikuvitus on tärkeä tekijä sekä näkemään oppimisen että nähdyn tulkitsemisen kannalta. 

Kumpikin kirja kuvaa lisäksi sitä kuinka kansainvälisesti ideat ja ajatukset levisivät Euroopan eri kolkkiin ja miten niitä kehitettiin. Ei ole ollenkaan yllättävää, että tiedettä ja taidetta yhdistäviä kirjoja julkaistaan juuri nyt, kun mikroskooppi on myös taiteen tekemisen väline, solu- ja nanotaso taiteen materiaaleja ja kun esimerkiksi avaruustutkimuksen löytöjen ymmärtämiseksi niitä täytyy jäsennellä visuaalisesti eri tavoin.

Tamperelaistutkijat paljastivat Madonnan rumpalin tieteellisen salaisuuden

Tampereen teknillisen yliopiston ja Harvardin yliopiston tutkijat ovat heittäytyneet mielenkiitoiseen aiheeseen: miksi joillakin rumpaleilla on oma tietty tyylinsä, selvästi tunnistettava "groove"?

Vastauksia esiteltiin askettäin PLOS ONE -julkaisusarjassa olleessa artikkelissa, joka syntyi TTY:n (Tampereen teknillisen yliopiston) ja Harvardin yliopiston tutkijoiden analysoitua rumpali Jeff Porcaron (ei kuvassa) soittoa millisekunnin tarkkuudella.

Jeff Porcaro oli kenties maailman kuuluisin groove-rumpali. Hän oli TOTO-yhtyeen perustajajäsen ja soitti lukuisten popin, rockin, ja jazzin supertähtien kuten Michael JacksoninMadonnanBruce Springsteenin, Pink Floydin, Dire Straitsin ja Herbie Hancockin levyillä. Tämä tuottelias rumpari kuoli vuonna 1992 vain 38-vuotiaana.

Tutkimuksessa haluttiin selvittää yksityiskohtaisesti musiikin ja erityisesti rumpujen soiton ajoituksen ja dynamiikan vaihtelua tasaisen konemaiseen rytmiin nähden. Vaihteluiden rakenne antaa tietoa hermoston ja motoriikan toiminnasta. Lisäksi se valottaa niin sanotun svengin tai grooven taustatekijöitä ja miten rumpali toimii sen aikaansaamiseksi sekä tietoisesti että tiedostamatta. 

Asia on kiinnostava paitsi ihan sinällään, niin myös matemaattisesti ja siitä on apua useiden rymiä käyttävien laitteiden kehittämisessä. Tällaisia ovat esimerkiksi  uuden sukupolven inhimillisesti toimivat rumpukoneet.

Rummutus on fraktaalista

"Monilla ihmisen biosignaaleilla ja rytmisillä toiminnoilla kuten sydämen sykkeellä, askelluksella ja taputuksella on aiemmin havaittu fraktaalinen rakenne, kun tarkastellaan poikkeamia täysin tasaiseen rytmiin nähden", kertoo professori Esa Räsänen TTY:n fysiikan laitokselta. 

"Tällöin poikkeamien muodostama sarja näyttää samankaltaiselta sekä pienissä että isoissa mittakaavoissa. Luonnossa ilmiö on nähtävissä esimerkiksi kukkakaalin tai saniaisen lehden rakenteessa."

Räsäsen mukaan aiemmissa laboratoriokokeissa on havaittu, että fraktaalisesti käyttäytyvät poikkeamat rytmin intervalleissa eli iskujen välisissä ajoissa saavat musiikin kuulostamaan luonnollisemmalta. 

"Poikkeamien esiintymistä ei kuitenkaan ole aiemmin tutkittu äänitetyssä musiikissa, vaikka fraktaalisuus yhdistettynä musikaaliseen tulkinnan tuomaan vaihteluun saattaa olla oleellinen tekijä grooven taustalla."

Tutkimuksessa tarkasteltiin erityisesti Jeff Porcaron 16-osanuoteille soittamiaan hi-hat-iskuja Michael McDonaldin kappaleessa I Keep Forgettin' (video jutun lopussa) vuodelta 1982. Kyseinen kappale on tunnettu näyte Porcaron maineikkaasta yhden käden hi-hat-tekniikasta.

Myös menetelmien kannalta kappale on oivallinen tutkimusesimerkki: hi-hat-iskujen ajat ja voimakkuudet ovat erotettavissa erittäin suurella tarkkuudella ja toisaalta datamäärä on riittävän suuri tarkkaa aikasarja-analyysiä varten. Datan erottelu suoritettiin TTY:n signaalikäsittelyn laitoksella ja analyysi fysiikan laitoksella. Tutkijat löysivät fraktaalisen rakenteen sekä Porcaron hi-hat-intervallien että iskujen voimakkuuden vaihtelusta. 

"Fraktaalisuus tulee esiin pitkillä, yli kahden tahdin aikaskaaloilla", selittää Räsänen. 

"On huomattava, että kyseessä on erittäin hienovarainen ilmiö: intervallien keskihajonta on vain noin yhdeksän millisekuntia eli soitto on äärimmäisen tarkkaa. Rumpali ei siis tietoisesti luo soittoonsa fraktaalisuutta, vaan vaihteluiden rakenne on luonnollinen seuraus hermojärjestelmän toiminnasta. Joka tapauksessa sekä aiemman tutkimuksen että subjektiivisen tarkastelun perusteella fraktaalinen vaihtelu vaikuttaa positiivisesti kuuntelukokemukseen".

Lyhyillä, yhden tai kahden tahdin skaaloilla fraktaalisuutta ei näy mutta toisaalta musikaalinen tulkinta korostuu. Esimerkiksi hi-hat-iskujen voimakkuudesta on erotettavissa kahden tahdin pituinen, kappaleen fraasia seuraava toistuva kuvio. Kahden käden hi-hat-soittotekniikalla tällainen kuvio olisi lähes mahdoton toteuttaa. Porcaro on itsekin opetusvideossaan korostanut yhden käden tekniikan tärkeyttä kyseisessä kappaleessa: "it (two-handed method) sounded just too stiff and staccato for me". 

Tutkimus avaa uusia mahdollisuuksia rumpukoneiden kehittämiseen. Jo aiemmin on tiedetty, että ihmisrumpali voittaa soiton luonnollisuudessa rumpukoneen. Tämän vuoksi koneisiin on lisätty satunnaisuutta lisääviä algoritmeja. Niissä ei kuitenkaan ole otettu vaihteluiden inhimillistä erityispiirrettä eli fraktaalisuutta lainkaan huomioon. Myöskään iskujen voimakkuutta ei ole rumpukoneissa muunneltu riittävän monipuolisesti.

Tutkimus herättää useita uusia tutkimusongelmia ratkottaviksi: Millaisia eroja eri rumpaleiden "fraktaalisuuden" välillä on? Miten soittotekniikka tai musiikin tyylilaji vaikuttavat? Ja mikä on musikaalisen kommunikaation eli yhteissoiton merkitys?

Näitä kysymyksiä on jo osin selvitetty, ja työ jatkuu aktiivisesti mm. tämän tutkimuksen tekijöiden voimin. Tutkijoilla on siis edessään jännittäviä musiikkituokioita...joihin suhtautudutaan luonnollisesti täysin matemaattisesti.

Artikkeli perustuu TTY:n lähettämään tiedotteeseen. Tiedetuubi julkaisee tutkimuslaitosten ja yhtiöiden lähettämiä tiedotteita kuratoiden ja editoiden; nämä jutut erottaa journalistisesti toimitetusta sisällöstä punaisesta neliöstä jutun yhteydessä.

Kuva: Flickr / Blues Association of Geneva

Pyörivä 3D-Fibonacci Toimitus Pe, 23/01/2015 - 15:49

Stanfordin yliopistossa opettava tuotesuunnittelija John Edmark sai idean tehdä pyöriviä, 3D-tulostettuja veistoksia, jotka pyöriessään saavat aikaan kauniin animaatioefektin. Taustalla tässä(kin) on matematiikka: Fibonnacin lukujono, jonka kahden perättäisen luvun suhde on likimain sama kuin ns. kultaisen leikkauksen.

Luonnossa on runsaasti tähän tapaan toistuvia, ikään kuin korkoa korolle -tyyliin summautuvia ilmiöitä, ja esimerkiksi monissa kukissa terälehtien määrä vastaa jotakin Fibonaccin lukujonon lukua. Päivänkakkarassa luku on 34.

Kun teoksen laittaa pyörimään, ja etenkin kun sen pyörimisen kuvaa joko stroboskooppivalossa tai sopivasti asetetun sulkija-ajan avulla, ne saavat aivan uuden ilmeen. Staattiset möhkäleet heräävät eloon.

Edmark kutsuu näitä kukkamaisia animaatioveistoksiaan Blooming Zoetrope Sculptures -nimellä ja kertoi niistä Instructables-nettisuvulla näin:

“Jos seuraat yhtä terälehteä kun se liikkuu kuvassa ylhäältä alas, näet itse asiassa kaikki teoksessa olevat terälehdet siinä järjestyksessä, kun ne etääntyvät yläosan keskipisteestä.”

“Näiden terälehtimäisten ulokkeiden sijainti onkin tärkeää näissä teoksissa, jotta animaatioefekti toimisi”, jatkaa Edmark. “Sijainnit ovat samanlaisia kuin erilaisten lehtien tai nystyjen sijainnit monissa luonnossa olevissa kasveissa. Tällaisia ovat mm. ananas, auringonkukka, artisokka, palmut ja monet mehikasvit.”

Teoksia on kolmea päätyyppiä. Yksissä kuutiomaiset ulokkeet näyttävät pursuavat ulos pinnasta, toisessa donitsimaiset rinkulat liikkuvat sisäkkäin, ja kolmannessa terälehdet liikkuvat pinnalla alaspäin. 

Periaate kaikissa on kuitenkin sama, sillä jokainen uloke tai toistuva piirre on tarkalleen 137,5° kulmassa edelliseen verrattuna, symmetrinen keskiakselin suhteen ja siirtyy toistuen ylhäältä alas.

Fibonnaccin lukujonossa jokainen numero on yhtä suuri kuin kaksi edellistä numero. Sen, ja sen yhteyden luonnossa oleviin piirteisiin sekä yleisesti puhtaan harmonisena pidettyyn kultaiseen leikkaukseen keksi Leonardo Pisano, Pisassa, Italiassa elänyt matemaatikko, joka julkaisi lukujonon vuonna 1202 kirjassaan “Liber abaci”. Omituinen nimi sarjalle tulee hänen isästään, Bonaccista, sillä “fibonacci” on lyhennys sanoista "filius Bonacci”, Bonaccin poika.

“Liber abaci” on merkittävä teos muutenkin, sillä se auttoi tekemään arabialaisesta lukujärjestelmästä yleisen Euroopassa.

Tee itse!

Edmark laski teoksilleen muodon Rhino-nimisellä 3D-suunnitteluohjelmistolla ja Python-ohjelmointikielellä, minkä tuloksena saadut 3D-tiedostot hän tulosti Zprinter 450 -printterillä.

Jos olet kiinnostunut tulostamaan omasi, kehittämään teoksia eteenpäin tai tekemään kokonaan omasi, niin ota yhteyttä Edmarkiin Instructables -sivun kautta – hän lupaa olla avuksi!

Videossa on käytetty hyvin nopeaa suljinaikaa (1/4000 sec), joka vangitsee pyörimisliikkeen. Myös stroboskooppivalo tekee saman. Videon on tehnyt ja editoinut Charlie Nordstrom.

Musiiikki: "Plateau", Lee Rosevere.

Matematiikkaa ja fysiikkaa Helsingissä

Kupiainen ja kumppanit
Kupiainen ja kumppanit

Matemaattisen fysiikan supertähdet ovat parhaillaan koolla Helsingin yliopistolla Mathematics Meets Physics -konferenssissa, joka alkoi Helsingissä 24. kesäkuuta ja jatkuu viikon loppuun saakka. Tapahtuma on ensimmäinen Suomessa järjestetty suurimuotoinen matemaattisen fysiikan konferenssi ja se kerää koleaan kaupunkiin noin 150 matemaatikkoa.

Alan tähdistä paikalle on saapunut muiden muassa Alan Sokal New Yorkin yliopistosta (kuvassa oikealla) ja neljä Fieldsin mitalin saanutta tutkijaa: belgialainen Jean Bourgain, venäläinen Stanislav Smirnov sekä ranskalaiset Cédric Villani ja Wendelin Werner (kuvassa toinen vasemmalta). Joka neljäs vuosi jaettavat Fieldsin mitalit ovat matematiikan suurin arvonosoitus, joka rinnastetaan Nobelin palkintoon.

Fysiikasta inspiraationsa saanut matematiikka ruotii usein fysiikan perusongelmia, ja Helsingin-konferenssikin painottuu perustutkimukseen.

"On vaikea suoraan sanoa, koska matemaattisen fysiikan tutkimustulokset sovelletaan käytäntöön", kuvailee konferenssijärjestelyistä vastannut professori Eero Saksman (kuvassa toinen oikealta).

"Toisinaan ne voidaan ottaa nopeastikin käyttöön, mutta on todennäköisempää, että ne ovat taustana myöhemmille läpimurroille ‒ joko perustutkimuksessa tai sovelluksissa."

Isäntä on päivänsankari

Konferenssin aikana juhlitaan Kumpulan kampuksella työskentelevän akatemiaprofessori Antti Kupiaisen (kuvassa vasemmalla) 60-vuotispäivää.

Kupiaisen tutkimusalaa ovat erityisesti kaoottiset dynaamiset systeemit, osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja tilastollinen mekaniikka. Hänen johtamassaan huippututkimusyksikössä tavoitellaan läpimurtoja muun muassa diffuusioon ja lämmönjohtavuuteen liityvissä kysymyksissä.

Syntymäpäiväsankarin maailmanmaine auttoi tuomaan poikkeuksellisen nimekkään vierailijajoukon Helsinkiin, Saksman uskoo.

Tilaisuus lumoutua

Konferenssiohjelma on rakennettu mahdollisimman suuren hyödyn ajatusta kunnioittaen: päivastoin kuin monissa konfrensseissa, on osallistujien mahdollista kuunnella tapahtuman jokainen puheenvuoro. Kahvi- ja lounastauot puolestaan ovat riittävän pitkiä hyviin vapaisiin keskusteluihin.

"Ihmisten tapaaminen ja kysymysten tekeminen on tärkeää", selittää Saksman. "Vuorovaikutus on kaiken ydin. Kun näkee hyvän esityksen, siitä melkein lumoutuu ja saa niin paljon vaikutteita omaan ajatteluun."

Juttu perustuu lähes suoraan Helsingin yliopiston verkkosivuilla olevaan artikkeliin Annos maailman parasta matematiikkaa Helsingissä, jonka on kirjoittanut Sirkku Saariaho. Kuvan on ottanut Veikko Somerpuro.

Vauvat matemaatikkoina

Onko laskutaito luontainen vai hankittu kyky? Ariel Starrin johtama tutkijaryhmä on todennut, että jo alle yksivuotiailla on intuitiivista ymmärrystä lukumääristä. Aiemminkin on saatu viitteitä siitä, että näillä alkeellisilla matemaattisilla kyvyillä on yhteys vastaaviin taitoihin myöhemmällä iällä – sekä lapsena että aikuisena.

Esimerkiksi matematiikassa menestyvien opiskelijoiden on todettu olevien hyviä myös lukumäärien arvioinnissa eli samantyyppisissä tehtävissä kuin nyt julkaistussa tutkimuksessa tehdyissä kokeissa. Ongelmana on kuitenkin ollut se, että tutkijat eivät ole voineet olla varmoja, onko lukumäärien arviointikyky auttanut matikan opinnoissa vai ovatko opinnot kehittäneet kykyä arvioida lukumääriä.

Uudessa tutkimuksessa luontaisten numeraalisten kykyjen on todettu ennakoivan selvästi matemaattista lahjakkuutta iän karttuessa.

Duke Universityssä tehdyssä tutkimuksessa oli mukana 66 puolivuotiasta lasta, joista kolme vuotta myöhemmin tehtyyn seurantaan osallistui 48 lasta (22 tyttöä ja 26 poikaa). Matemaattisia taitoja tutkittiin erilaisilla testeillä, joissa haasteena oli tietenkin se, että puolivuotiaat vesselit eivät paljon puhele – ainakaan kovin helposti ymmärrettävällä tavalla. Toisaalta tutkimuskohteiden oli oltava mahdollisimman nuoria, jotta vanhemmat ja ympäristö eivät olisi ehtineet vaikuttaa mahdollisiin luontaisiin kykyihin.

Yhdessä kokeessa esimerkiksi näytettiin kahdessa monitorissa kuvia, joissa oli pyöreitä täpliä. Toisessa monitorissa lukumäärä vaihteli kuvasta toiseen kymmenestä kahteenkymmeneen, toisessa se oli kaikissa kuvissa sama eli kymmenen. Täplien muodostamat kuviot sen sijaan vaihtelivat kummassakin ruudussa. Kokeen aikana tarkkailtiin kumpaa monitoria vauvat katselivat pidempään.

Kuvat vaihtuivat monitoreissa samaan aikaan. Koska vauvat kohdistavat katseensa yleensä mieluummin johonkin uuteen, tutkijat päättelivät, että lukumäärältään vaihtelevia täpliä tuijottavat koehenkilöt mielsivät nimenomaan täplien lukumäärän vaihtelun uutena ja kiinnostavana asiana.

Kolme vuotta myöhemmin samojen lasten matemaattisia kykyjä voitiin tutkia monimutkaisemmilla kokeilla, joilla pystyttiin selvittämään myös matematiikan symbolista hallintaa. Apinatkin kykenevät päättelemään kahdessa kuvassa olevien esineiden lukumäärän ja valitsemaan kolmannen kuvan, jossa esineitä on yhtä monta kuin kahdessa aiemmassa kuvassa yhteensä. Vain ihminen kykenee tekemään saman numeroilla.

Tutkimuksen tulokset osoittivat, että 3,5-vuotiaina matemaattisissa testeissä paremmin pärjänneillä oli ollut jo puolivuotiaina kehittyneempi kyky hahmottaa lukumääriä. Tutkijoiden mukaan se osoittaa ihmisellä olevan jo ennen puhekyvyn ja varsinaisten matemaattisten taitojen kehittymistä luontaista ymmärrystä luvuista.

Tutkimus on julkaistu 21. lokakuuta Proceedings of the National Academy of Sciences -verkkolehdessä.

Neljä väriä ja kartta

Tiedetuubi on aloittanut yhteistyön australialaisen akateemisen nettijulkaisun The Conversationin kanssa kääntämällä heidän kiinnostavia artikkeleitaan suomeksi. Toisessa jutussa Adrian Dudek Australian kansallisesta yliopistosta kertoo, mitä on matematiikka ja miten siitä saa entistä kiinnostavampaa.


Vierailin jokin aika sitten paikallisessa lukiossa kertomassa oppilaille matematiikasta. Halusin osoittaa, että matematiikka voi olla hauskaa, ja näyttää, mistä matematiikassa oikein on kyse.

Kysyin oppilailta ensin, mitä mieltä he ovat matematiikasta. He kertoivat, etteivät ihmeemmin perustaneet yhteenlaskusta – sitä varten on olemassa taskulaskimet.

Minun oli kumottava harhakäsitys, että ”matematiikka” on sama asia kuin ”tylsä laskento”, ja se piti tehdä äkkiä, sillä pulpettien kätköistä alkoi jo ilmestyä älypuhelimia.

Pyysin oppilaita piirtämään Australian kartan osavaltioineen ja territorioineen, ja sitten värittämään sen. Vaatimuksena oli kuitenkin se, että vierekkäiset osavaltiot ja territoriot eivät saa olla samanvärisiä, koska se ei näytä kivalta.

Oppilaat kävivät tyytyväisinä työhön, sillä he kuvittelivat pääsevänsä pälkähästä matematiikan suhteen.

Kiertelin luokassa ihailemassa heidän kättensä töitä ja esitin sitten seuraavan kysymyksen:

Mikä on pienin määrä värejä, joilla Australian voi värittää vaaditulla tavalla?

Oppilaat vastailivat kilvan, vaikka jotkut olivatkin ottaneet käyttöön kaikki näkyvän spektrin värit. Jonkin ajan kuluttua he pääsivät yhteisymmärrykseen vastauksesta: kolme.

Onnittelin heitä oikeasta vastauksesta ja annoin heille kaksi uutta harjoitustehtävää.

1. Piirtäkää sellainen valtio osavaltioineen, että värejä tarvitaan vähintään neljä. Antakaa piirros sitten vieruskaverillenne ja pyytäkää tätä värittämään se.

2. Piirtäkää toinen valtio, jonka värittämiseen tarvitaan vähintään viisi väriä. Antakaa piirros vieruskaverillenne ja pyytäkää tätä värittämään se.

Oppilailla oli hauskaa heidän keksiessään omia valtioitaan ja nimetessään niitä. Ensimmäisessä tehtävässä oli omat haasteensa, sillä oikea tapa värittää ei ollut aina ihan ilmeinen.

Otsikkokuvassa on yksinkertaisin mahdollinen kartta, jonka värittämiseen tarvitaan neljä väriä.

Toisen tehtävän kanssa kävi juuri niin kuin olin olettanut. Se aiheutti pieniä kiistoja: kävi ilmi, että vaikka värien vähimmäismäärän piti olla viisi, kartat pystyi silti värittämään neljällä värillä.

Yksi kerrallaan kävimme läpi oppilaiden piirtämät kartat ja totesimme, että ne on mahdollista värittää vain neljällä värillä. Mitä ihmettä? Pyysin heitä yrittämään uudelleen – turhaan – ja paljastin heille sitten tunnetun matemaattisen lauseen, neliväriteoreeman:

Jokainen tasokartta voidaan värittää neljällä värillä siten, että kaksi vierekkäistä aluetta ovat aina erivärisiä.

Vaatimuksena on se, että kahden alueen välillä on rajaviiva, pelkkä rajapiste ei riitä tekemään alueista vierekkäisiä.

Kerroin oppilaille, että tässä on todennäköisesti ensimmäinen heidän kohtaamansa esimerkki todellisesta matematiikasta. Matematiikassa on nimittäin kyse ajatuksista, ei aritmetiikasta. Oppilaat halusivat tietää asiasta enemmän.

Kerroin, kuinka vuonna 1852 matemaatikko nimeltä Francis Guthrie väritti Englannin kreivikuntia ja huomasi tarvitsevansa ainoastaan neljää väriä. Hän kertoi havainnostaan veljelleen Frederickille lähettämässään kirjeessä, jonka veli välitti edelleen toiselle matemaatikolle.

Yli sadan vuoden ajan matematiikat yrittivät turhaan todistaa neliväriteoreemaa. Vuonna 1976 Kenneth Appel ja Wolfgang Haken vihdoin onnistuivat tehtävässä.

Kysyin oppilailta, miten teoreeman voisi todistaa oikeaksi. He ehdottivat, että voisimme piirtää kaikki mahdolliset kartat ja värittää ne sitten neljällä värillä. Sain heidät toisiin ajatuksiin toteamalla, että erilaisia karttoja on ääretön määrä.

Miten todistus sitten onnistuisi? Neliväriteoreema oli ensimmäinen merkittävä matemaattinen teoreema, joka todistettiin oikeaksi tietokoneen avulla.

Todistaakseen neliväriteoreeman Appel ja Haken turvautuivat matemaatikoiden suosimaan menetelmään, jonka nimenä on reductio ad absurdum. Se toimii seuraavalla tavalla:

Jos haluamme todistaa jotakin oikeaksi, oletamme, että se ei päde, jolloin matematiikka ei toimi. Olettamalla, että jokin ei ole totta, päädymme ristiriitaan tunnettujen tosiasioiden kanssa. Niinpä alkuperäinen oletus on väärä, joten todistusta kaipaavan väitteen täytyy olla tosi.

Appel ja Haken sovelsivat menetelmää olettamalla, että on olemassa kartta, jonka värittäminen edellyttää viiden värin käyttöä. Sitten he osoittivat, että on olemassa 1936 kartan joukko, josta yksikään ei voi olla osa heidän olettamaansa isompaa karttaa.

Sen jälkeen Appel ja Haken osoittivat, että jokaisen mahdollisen kartan täytyy pitää sisällään yksi näistä pienemmistä kartoista, mikä johti ristiriitaan.

Todistus vaatii suuren määrän tarkistuksia, joten Appel ja Haken laativat tietokoneohjelman, joka teki valtaosan työstä. Niinpä neliväriteoreemasta tuli ensimmäinen tietokoneella todistettu merkittävä matemaattinen teoreema.

Koska todistuksessa oli tietokoneella merkittävä rooli, monet epäilivät sen paikkansapitävyyttä: teoreemaa on käytännössä mahdoton todistaa ”käsin”.

Vuonna 1975 matemaatikko Martin Gardner esitti aprillipilana 110 alueen muodostaman "kartan", joka oli hänen mukaansa mahdoton värittää ainoastaan neljällä värillä. Gardnerin väitteen osoittaminen vääräksi vaati 24 vuotta ja melkoisen määrän tietokoneaikaa.

Silti yhä edelleen jotkut epäilevät neliväriteoreeman pätevyyttä.

Adrian Dudek

Australian National University

Päivän kuva 11.5.2013: Matematiikka on kaunista

Kuvassa on Apophysis -ohjelmalla tehty fraktaali.

Fraktaalifunktio on omalaatuinen matemaattinen joukko, joka näyttää samalta tai samankaltaiselta, katsoi sitä millä suurennoksella tahansa. Matemaattisesti määriteltynä fraktaalifunktio on jatkuva kaikkialla mutta ei derivoidu missään pisteessä.

Tunnetuin fraktaaleista on Benoît Mandelbrotin mukaan nimetty joukko, jonka hän visualisoi kauniisti tietokoneella 1960 -luvulla; hän myös keksi sanan "fraktaali" (latinan sanasta fractus, murtunut) kuvaamaan näitä omalaatuisia, jatkuvia ja moninaisia funktioita. Tietokonevisualisointien myötä fraktaalit ovat tulleet paitsi suositummiksi, niin myös niiden tutkiminen on tullut helpommaksi, koska laskutoimitukset ovat yleensä hankalia ja niitä vaaditaan paljon. Siis todella paljon: mitä enemmän, sitä parempi.

Lisätietoa fraktaaleista mm: Fractal foundationin nettisivuilla.